周期性

图像

平移后与原图重合

表达式

定义式

对任意定义域内的$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则称$T$为$f(x)$的一个周期。
注意一下几点：

• 括号内$x$是同号的
• 周期不唯一
• 最小正周期的定义
• 最小正周期不一定存在，比如狄利克雷函数

定义式变形

（一）$f(x+a)=f(x+b)$
以$x-a$代$x$，得$f(x)=f(x-a+b)$
显然此处周期为$-a+b$
（二）$f(a-2x)=f(-2x)$
以$-\frac{x}{2}$代$x$，得$f(a+x)=f(x)$
显然此处周期为$a$
总结：括号内直接相减得周期

迭代法得周期

（一）$f(x)=-f(x+a)$
以$x+a$代$x$，得$f(x+a)=-f(x+2a)$
进行迭代，$f(x)=-f(x+a)=f(x+2a)$
此处周期为$2a$
（二）$f(x)=\frac{c}{f(x+a)}$
（三）$f(x)=-\frac{c}{f(x+a)}$
总结：周期翻倍

• 分式型均可考虑此方法，但其它分式型周期不一定是翻倍
  例如：
  $f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$

  其它复杂内容

  $f(x)=f(x+a)+f(x-a)$

对称性

图像

观察二次函数和三次函数图像，明白轴对称和中心对称

表达式

定义式

若$x=a$为对称轴，则$f(a-x)=f(a+x)$
若$(a,0)$为对称中心，则$f(a-x)=-f(a+x)$
若$(a,b)$为对称中心，则$f(a-x)+f(a+x)=2b$
注意：

• 借助图像来理解定义式
• 括号内$x$是异号的，尤其要与周期进行区分
• $f$同号是轴对称，异号是中心对称
• 轴对称可以类比偶函数的定义式，中心对称可以类比奇函数的定义式

定义式变形

若$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$为对称轴
若$f(a-x)=-f(b+x)$，则$(\frac{a+b}{2},0)$为对称中心
若$f(a-x)+f(b+x)=2c$，则$(\frac{a+b}{2},c)$为对称中心
总结：括号内相加除以2

其它表达式：用定义转化

• $f(x+2)$为奇函数/偶函数，写关系式
• $f(x)-1$为奇函数，图像平移

• 区分：$f(1-2x)$为奇函数，则$f(1-2x)=-f(1+2x)$；$f(x)$为奇函数，则$f(1-2x)=-f(2x-1)$

  逆用

  若$x=a$为对称轴，则$f(x)=f(2a-x)$
  若$(a,b)$为对称中心，则$f(x)+f(2a-x)=2b$

应用

周期为$T$的奇函数，$f(\frac{T}{2})=0$，前提是这个值存在

两对称得周期

借助正弦曲线进行理解，相邻两对称轴距离为半个周期，相邻两对称中心距离为半个周期，相邻的一个对称中心和一条对称轴距离为四分之一个周期。所以知道两个对称，可以反过来计算周期。

求函数值

比较大小

求解析式

解双f不等式

• 有对称中心的双f，先将右边的常数化为两个f相加（对称性的逆用）

• 有对称轴的双f，用到轴的距离求，不用画图，类似偶函数，看右边单调性，增不变，减相反

  找出其它对称轴和对称中心

  $f(x)$周期为T，对称轴为$x=a$，则所有对称轴为$x=a+\frac{kT}{2}$，对称中心类似，但是轴与中心不能直接互推

  导函数的对称性和周期性

• 原函数的心就是导数的轴，原函数的轴就是导数的心（注意，导数的心纵坐标要代入导函数去算）
• 原函数的周期就是导函数的周期
• 用定义推导