正余弦定理

化简

• $a>b$的充要条件有：$A>B$,$sinA>sinB$,$cosA<cosB$,$cos2A<cos2B$
• 三大法宝：$asinB=bsinA$, $a^2+b^2-c^2=2abcosC$, $a=bcosC+ccosB$
• 面积公式:$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}absinC=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2)tanC$
• 正余弦定理选择：对边对角用正弦，已知三角用正弦，边多角少用余弦
• 一角定公式：知道哪个角就用哪个角的余弦定理，知道哪个角就用哪个角的面积公式
• 知和求积：余弦定理+配方

• 边sin互化：齐次

  判断三角形形状：

  $sinA=sinB$,$cosA=cosB$,$tanA=tanB$等腰
  $sin2A=sin2B$等腰或直角,$cos2A=cos2B$等腰,$tan2A=tan2B$等腰或钝角
  $sinA=cosB$直角或钝角

  最值

  对边对角

• 已知对边对角求周长面积最值：小题秒杀，大题无限制基本不等式，有限制化角辅助角公式
• 其余全部化角
  基本不等式：求和先求积，求积直接求
  例：
  $a^2=b^2+c^2-bc{\ge}2bc-bc$
  $0<bc{\le}a^2$
  当且仅当$b=c=a$时取等
  $a^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc$
  $(b+c)^2=3bc+a^2{\in}(3{\times}0+a^2,3{\times}a^2+a^2]$

• 锐角三角形角的范围（余角，直角），无限制角的范围（0，补角）

  邻边邻角

• 秒杀：另外两角为直角时取

• 大题：化角

  阿波罗尼斯圆

  例：$a=2,b=2c$

  三角形解的个数

  画图：找邻边邻角，把角画在左下角，邻边画在左边，不如直角三角形无解，不如等腰三角形两解，其余一解

  综合应用

  平面图形

• 三角形
• 四边形

• 圆的内接四边形对角互补

  三线

  高线

• 方法一（优先）：直角三角形+勾股定理

• 方法二：等面积法

  中线

• 方法一：中线向量（适用条件：爪子形状）

• 方法二：余弦定理

  角分线

• 角分线不一定平分
• 方法一：面积之比（适用条件：出现比值关系，不一定就是分式）
  例：AD平分角A，$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{BD}{CD}=\frac{\frac{1}{2}cADsin\alpha}{\frac{1}{2}bADsin\alpha}=\frac{c}{b}=\frac{sinC}{sinB}$

• 方法二：面积之和（适用条件：有大三角形的条件，或有或求角分线的长度）

  实际应用

• 仰角俯角：竖直方向上的角
• 方向角方位角：水平方向上的角（东南西北要分清）
• 坡度：斜率的绝对值