已知数列$\left\{ a_{n} \right\}$满足$a_{1} = 3,a_{n + 1} = 7a_{n} + 3$．

(1)证明$\left\{ a_{n} + \frac{1}{2} \right\}$是等比数列，并求$\left\{ a_{n} \right\}$的通项公式；

(2)证明：$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \ldots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{7}{18}$

【答案】(1)证明见解析；$a_{n} = \frac{7^{n} - 1}{2}$

(2)证明见解析

【分析】（1）由递推公式，构造等比数列，再求通项公式；

（2）首先由（1）的结果，放缩$7^{n} - 1 \geq 6 \cdot 7^{n - 1}$，再利用等比数列求和公式求和.

【详解】（1）因为$a_{n + 1} = 7a_{n} + 3$，所以$a_{n + 1} + \frac{1}{2} = 7\left( a_{n} + \frac{1}{2} \right)$，且$a_{1} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$，则$a_{n} + \frac{1}{2} \neq 0$，

即$\frac{a_{n + 1} + \frac{1}{2}}{a_{n} + \frac{1}{2}} = 7$，所以数列$\left\{ a_{n} + \frac{1}{2} \right\}$是首项为$a_{1} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$，公比为7的等比数列，

所以$a_{n} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot 7^{n - 1} = \frac{7^{n}}{2}$，则$a_{n} = \frac{7^{n} - 1}{2}$；

（2）由（1）可知，$\frac{1}{a_{n}} = \frac{2}{7^{n} - 1}$，

$7^{n} - 1 - 6 \cdot 7^{n - 1} = 7^{n - 1} - 1 \geq 0$，即$7^{n} - 1 \geq 6 \cdot 7^{n - 1}$，只有当$n = 1$时，等号成立，

所以$\frac{1}{a_{n}} = \frac{2}{7^{n} - 1} \leq \frac{1}{3 \cdot 7^{n - 1}}$，只有当$n = 1$时，等号成立，

当$n = 1$时，$\frac{1}{a_{1}} = \frac{1}{3} < \frac{7}{18}$，成立，

当$n \geq 2$时，$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}} < \frac{2}{6}\left( 1 + \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{7^{n}} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{1 - \left( \frac{1}{7} \right)^{n}}{1 - \frac{1}{7}} < \frac{7}{18}$，

综上可知，$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \ldots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{7}{18}$.

[!IMPORTANT]

关于如何放缩：此处只能放缩成等比数列，公比必定是$\frac{1}{7}$

我们假设放缩成$k(\frac{1}{7})^{n-1}$

对其求和得$k\frac{1-(\frac{1}{7})^n}{1-\frac{1}{7}}$

令$k\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{18}$即可求得k