11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为$\frac{2}{3}$，乙发球时甲得分的概率为$\frac{1}{2}$，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（   ）

A．若每局比赛甲获胜的概率$p = \frac{2}{3}$，则该场比赛甲3:2获胜的概率为$\frac{16}{81}$

B．若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前4个球时甲得3分的概率为$\frac{2}{9}$

C．若某局比赛甲先发球，双方比分为8:8，则该局比赛甲以11:9获胜的概率为$\frac{2}{9}$

D．若某局比赛目前比分为10:10，则该局比赛甲获胜的概率为$\frac{5}{6}$

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式、独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式及全概率公式逐项分析求解.

【详解】对于A，甲3:2获胜的事件是第5局甲获胜，前4局甲胜2局，概率为$\text{C}_{4}^{2}{(\frac{2}{3})}^{2}{(1 - \frac{2}{3})}^{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{81}$，A正确；

对于B，打完前4个球时甲得3分的事件是甲发2球得2分的事件与甲发2球得1分的事件和，

其概率为${(\frac{2}{3})}^{2}\text{C}_{2}^{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2}) + \text{C}_{2}^{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot (1 - \frac{2}{3}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{3}$，B错误；

对于C，比分为8:8后由甲发球，甲以11:9获胜的事件是4次发球，前3球甲胜2球，第4球甲胜，

其概率为${(\frac{2}{3})}^{2}\frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2}) + \text{C}_{2}^{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot (1 - \frac{2}{3}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{9}$，C正确；

[!IMPORTANT]

对于D，设打成$10:10$后再打2个球时甲的得分为$X$，则$P(X = 0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，

$P(X = 1) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}) = \frac{1}{2}$，$P(X = 2) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$，

设该局比赛甲获胜为事件$B$，则$P(B|X = 0) = 0,P(B|X = 1) = P(B),P(B|X = 2) = 1$，

由全概率公式，得$P(B) = P(X = 0)P(B|X = 0) + P(X = 1)P(B|X = 1) + P(X = 2)P(B|X = 2)$

$= \frac{1}{6} \times 0 + \frac{1}{2}P(B) + \frac{1}{3}$，解得$P(B) = \frac{2}{3}$，则该局比赛甲获胜的概率$\frac{2}{3}$，D错误.

故选：AC