隐零点

• 导数等于零思路：求根->猜根->设根，既不能求出根、也不能猜出根时就是隐零点问题
• 说明$f^{\prime}(x)$的单调性，以及$x_0$的左右两个近似值的导数值符号，以证明$x_0$存在

• 计算的核心：指对化幂
  例题：
  求根：求函数$f(x)=e^x-2x$的最值
  猜根：求函数$f(x)=\frac{lnx+1}{e^x}$的最大值
  设根：求证$f(x)=e^x-lnx>2$

  韦达替换

  例：$f(x)=ln\frac{1}{2x}-ax^2+x$有两个极值点$x_1$、$x_2$，求证$f(x_1)+f(x_2)>3-4ln2$

• 一定去求$a$的取值范围（利用条件有两个极值点）（二次函数根的分布或者分离参数法）

  对数清君侧，指数数好朋友

  $lnx$不能与其它式子相乘，不好求导
  $e^x$做分母容易求导

  证明不等式

  常用不等式：
  $e^x{\ge}x+1$
  $e^x{\ge}ex$
  $lnx{\le}x-1$
  $lnx{\le}\frac{x}{e}$
  $sinx<x<tanx (0<x<\frac{\pi}{2})$

  带端点

  例：证明$a{\le}1,x{\ge}0,e^x-ax^2{\ge}1$
  因为$a{\le}1$,$e^x-ax^2{\ge}e^x-x^2$
  故只需证$e^x-x^2{\ge}1$

  和式的处理

  例：证明$1+\frac{1}{2}+……+\frac{1}{n}>ln(n+1)$
  一边是和，把另一边也化成和$1+\frac{1}{2}+……+\frac{1}{n}>ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+……+ln\frac{n+1}{n}$
  方法：把右边当成一个数列的前$n$项和$S_n$，用$S_n$求$a_n$

  端点效应

  $a<x<b,f(x)>0$恒成立，且$f(a)=0$，说明$f(x)$在$a$右侧附近单调增，即$f^{\prime}(a){\ge}0$

• 端点效应得到的是必要条件（范围可能会大），需要做证明
• 分离参数不好做时考虑（最大的问题是想不起来用）

• 特殊类型:$f(x)=x-1-alnx{\ge}0$，端点自己找，本例端点为1

  恒成立中的整数问题

  例：$x>1,k(x-1)<xlnx+x$恒成立，求整数$k$的最大值

• 方法一：分离参数，用隐零点求最值范围，进而得整数最值

• 方法二：带特殊值得必要条件，再做证明

  换元法

  指对幂同时出现，令$t$为$f(x)e^x$
  例:证明$xe^x{\ge}lnx+x+a$恒成立
  令$t=xe^x$即可

  比较大小

  利用中间值比较

• 与0、11比较：指数永远大于0，对数一分为负（同正异负），$a^0=1,log_{a}a=1$
• 利用不等式进行比较：方天画戟不等式等

• 直接计算出值或者估计值

  同构比较大小

• 常用函数$f(x)=\frac{lnx}{x}$，注意$f(2)=f(4)$，不同区间比较时用此转化

• 同构常用方法：各回各家

  知解析式选图像

• 定义域
• 奇偶性
• 特殊值（函数的正负、特殊点的值、趋势等）
• 求导得单调性

极值点偏移

泰勒展开

洛必达法则