定义与方程

• 定义(给$PF_1$和$PF_2$的其它关系，用定义)
• 焦点跟着分母大的走，强调判断焦点位置
• 长轴，短轴，半长轴，长半轴，焦距，通径等
• 一般方程（知两点时用）

椭圆的生成方式

• 第一定义（圆上动，圆内定，中垂线交点）（分别与两圆外切内切）
• 第二定义：$e=\frac{|MF|}{d}$
• 第三定义：$k_{MA}k_{MB}=-\frac{y^2分母}{x^2分母}$，AB是椭圆上关于原点对称两点
• 将圆伸长或缩短

焦点三角形

• 周长定值，内切圆半径可算面积
• 知夹角求焦点三角形面积$S=b^2tan{\frac{\theta}{2}}$
• 区分4a三角形

对称性

常见取值范围

和差型

• 距离之和距离之差，能求直接求，不能求用定义转化
• 定点在椭圆内外情况不同

直接型

直接列式，消元，当成函数算（注意定义域）

三角换元

• 椭圆上的点到直线的距离
• 一次型

特殊

• 若P为椭圆上一点$|PO|$范围
• 焦半径$|PF_2|$范围
• 焦点弦范围
• $|PF_1||PF_2|$范围
• $\vec{PF_1}\vec{PF_2}$范围（极化恒等式）
• 焦点三角形面积范围

离心率

求值

• 抓住焦点三角形，给最短边赋值
• 根据条件找到abc关系式，赋值（有a的话令$a=1$，消b求c）
• 4a三角形：双余弦
• 圆柱截面：$e=sin\theta$，注意是截面与底面夹角

求范围

• 根据“存在一个点使得……”的范围求离心率范围(例如存在点P使得焦半径为$\frac{a}{3}$)

直线与椭圆位置关系

• 点与椭圆位置关系
• 基本步骤：设点设直线，联消判韦，条件转化
• 设直线的两种方式

弦长&面积

• 弦长公式：实际是两点间距离公式，留谁是谁的系数
• 求弦长->求面积->求参数->求面积范围
• 求面积：用底乘高除以2，弦长不化简，必定可以替换
• 求范围：上一次下二次，换元，换低次，换元必出新元范围

中点弦

• 点差法：小题、大题过程
• 注意检验点是否在椭圆内，防止直线不存在
• 结论:$k_{AB}k_{OM}=-\frac{y^2分母}{x^2分母}$

焦分比公式

$$ecos\theta=|\frac{\lambda-1}{\lambda+1}|$$

• $\lambda$：焦点弦中的两焦半径之比(知道这个值时考虑用焦分比公式)
• $\theta$：焦点弦与焦点所在轴的夹角（注意不一定是倾斜角）
• 大题：韦达+向量坐标，三个方程解三个未知数

定值定点

• 先化简再代入
• 计算的对称性（同理可得减少重复计算）
• 例如$n-1$这样的要将它们视为一项
• 根据题目中所给点设直线，方便化简
• 给一般的点不写点斜式，用斜截式或横截式，把点带进直线作为一个条件，不到迫不得已不使用此条件
• 能分离常数要分离常数
• 一个式子为0只需分子为0
• 等角定理：两个图，定理内容，$x_Px_Q=a^2$，求定点直接算，是否存在点先秒杀后证明

非对称韦达

• 斜率之比：找$my_1y_2$
• 结论：$\frac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}$直接看后面的系数之比的相反数$-\frac{-1}{3}$
• 定直线：两直线相比
• 结论：$x_Px_l=a^2$或点换一半得定直线

不用联立类型

切线&切点弦

大杂烩

• 任一焦点向$\angle F_1PF_2$的外角平分线作垂线，垂足Q轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆（去除两个点）
• 以焦半径为直线的圆与以长轴为直径的圆相切
• 光学性质：从一焦点射出的光线经椭圆反射过另一焦点（注意在长轴上反射的情况）
• 内切圆：一要考虑半径与面积关系，二要考虑椭圆定义结合对称性