双曲线的方程
- 顶点只有两个
- 特征三角形：焦点到渐近线的距离为b
- 离心率越大,开口越大
- 渐近线方程：$y=\pm \frac{y的分母}{x的分母}x$
- 最短的焦点弦：同支为通径、异支为实轴
- 知一个焦半径求另一个：分左右支讨论,先检验是否满足焦半径范围,满足范围了再计算
- 等轴双曲线$x^2-y^2=\lambda$,离心率$\sqrt 2$,渐近线$y=\pm x$互相垂直
- 渐近线和离心率关系：用$\frac{b}{a}$为媒介
求方程
- 圆外定,圆上动,中垂线和半径的交点为双曲线(注意：是整条双曲线)：将圆上动点为顶点的角分别画成锐角和钝角可以看出在两支上,画成直角时不存在交点
- 外切外切
- 外切内切
- 第二定义
- 第三定义
- 相同渐近线：变1为$\lambda$(注：$\lambda \neq 0$)
- 知渐近线设双曲线方程：将两条渐近线相乘,等于$\lambda$
双曲线几何性质
- 焦点三角形面积$S=\frac{b^2}{tan{\frac{\theta}{2}}}$
- 4a三角形周长$4a+2m$(其中m为焦点弦长)
- 弦中点只能用$\Delta$检验
- 完美公式：椭圆(离心率$e_1$)与双曲线(离心率$e_2$)共焦点,且交点为P,$\angle F_1PF_2=\theta$,则有$\frac{1-cos\theta}{e_1^2}+\frac{1+cos\theta}{e_2^2}=2$,结论：定值是分子相加
- 焦点三角形内切圆圆心$(\pm a,\pm r)$(利用内切圆的对称性,三组相等的长度分别假设为xyz,结合定义推出)
- 距离之和距离之差(用定义要小心)
- 任一焦点向$\angle F_1PF_2$的角平分线作垂线,垂足Q轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆(去除两个点)
- 以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆相切
- Dandelin双球模型求离心率：球的切线长相等
与渐近线有关的离心率
- 与同支相交：用角平分线(有时要用角平分线定理)(有时要画出另一个特征三角形)
- 与异支相交：做渐近线的平行线,则必有等腰三角形
直线与双曲线位置关系
直线与双曲线位置关系
- 代数法：注意二次项系数可能为0
- 几何法：比较与渐近线斜率大小
- 一解未必相切，相交未必两解，两解未必同支
- 弦中点注意检验（几何法或代数法）
- 割线极限情况是切线，弦中点结论对切线也适用
- 两条渐近线视为一条二次曲线，弦中点结论对渐近线也适用
- 点与双曲线位置关系（大于小于反的）（什么叫在双曲线内）
夹在双曲线与渐近线中间的部分不可能是弦中点，即代入双曲线方程左边算得0到1之间的点
过一点可以做几条与双曲线只有一交点的直线
- 可以跟渐近线平行，也可以是切线
- 点不在渐近线上时，可作两条渐近线的平行线
- 点不在渐近线上时，点在双曲线内可作0条切线，点在双曲线上可作1条切线，点在双曲线外可作2条切线
- 点在渐近线上但不在原点，可作1切1平行
- 点在原点，可作0切0平行
等角定理
- 对同支不同支都适用，结论与椭圆一致
- 点对称就是线对称，一定会有两组对称直线，一定会有两组斜率之和为0
- 过定点求谁设谁，是否存在一点先秒杀后证明，证明斜率相加等于0转化成证另一组斜率相加等于0
大杂烩
焦分比公式
- 交于一支，即F是内分点时，焦分比公式与椭圆相同
- 交于两支，即F是外分点时，焦分比公式分子分母要颠倒
PF1垂直于PF2
- P在双曲线上，考虑等面积法
- P在渐近线上，$P(\pm a,\pm b)$
切线
- 切线就是角平分线（或外角平分线）
- 切线就是镜面
tan值的处理
将角看做倾斜角之差，用和差角公式转化为斜率
两条渐近线可以看做一条二次曲线
可以将直线与两条渐近线同时联立
设切线和切点弦的方法
先设点，换一半，不用一般的直线方程
焦半径公式
- 椭圆$PF_1=a+ex_0$,$PF_2=a-ex_0$
- 双曲线右支$PF_1=ex_0+a$,$PF_2=ex_0-a$
- 双曲线左支$PF_1=-ex_0-a$,$PF_2=-ex_0+a$
不太重要的结论
- $\frac{1}{PF_1}+\frac{1}{PF_2}$为定值
- 蒙日圆：垂直两切线的交点
- 内准圆：过原点作两垂线分别交曲线与AB两点，过原点作AB垂线，垂直为H,H的轨迹（存不存在定圆与AB相切）（作出A、B两点关于原点的对称点A\`B\`，存不存在四边形ABA\`B\`的内切圆）($\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}$为定值)
- 双曲线上的点到渐近线距离为定值
- 过双曲线上的点作两条渐近线平行线形成的平行四边形面积为定值