圆的方程
- 定义、三种方程
- 点与圆位置关系
- 配方求圆心和半径、判断圆是否存在
- 求方程：知三点圆一般方程，知圆心有关条件用标准方程
- 配方化标，防止不是圆
- 几何性质：弦的中垂线过圆心，半径与切线垂直，相切两圆圆心与切点共线
- 阿氏圆
求轨迹方法
定义法
直译法
六步，注意藏头诗
- 建系
- 设点
- 限制条件
- 代入
- 化简
- 去点
相关点法
- 适用条件：一个点运动引起另一个点运动
- 求谁设谁为$（x,y）$，引起运动的点设为$(x_0,y_0)$
- 找到两个点之间的关系，反解出$x_0,y_0$，代入原轨迹
最值问题
注意是距离还是距离的平方
圆上的点与定点距离最值
- 定点在圆外
- 定点在圆内
圆上的点与定直线距离最值
- 直线与圆相离
- 直线与圆相交
两圆上动点距离最值
平方型
- 视为距离或距离的平方
比值型
例：$\frac{y}{x-4}$
- 视为斜率
- 相切时为临界条件
- 有90度取两边，没有90度取中间
和差型
例：$x+2y$
- 三角换元
对称性
- 以$-x$代$x$，若方程不变，说明曲线关于y轴对称
- 以$-y$代$y$，若方程不变，说明曲线关于x轴对称
直线与圆的位置关系&圆与圆位置关系
- 直线与圆位置关系核心：圆心到直线的距离
- 弦长公式
- 两圆位置关系核心：圆心距、半径之和、半径之差（不管用到用不到，三个都要算）
- 两圆位置关系，关心临界条件：外切、内切
- 公共弦方程（相切时公切线方程）（两圆相减），公共弦长
- 四种半圆
- 最长弦、最短弦（定点为弦中点）
- 知弦长求方程：先讨论斜率存在，最后说明斜率不存在的情况（可以画图确定条数，所以可以推断出斜率不存在时成不成立）
圆上恰有01234个点到直线的距离为m
- 永远关心圆心到直线的距离
- 奇数个点求出的是值、偶数个点求出的是范围
- 先关心1个点和3个点
切线及切点弦方程
- 切线长及最值
- 点在圆上，切线有一条，用垂直关系求斜率
- 点在圆外，切线有两条，用$d=r$求斜率（先讨论斜率存在，最后说明斜率不存在的情况）
- 切点弦：PABC四点共圆，两圆相减
- 小题：点在圆上，换一半得切线；点在圆外，换一半得切点弦
圆的弦中点轨迹及存在性问题
- 垂径定理有垂直关系，弦中点轨迹是圆，注意去点
- 存在性问题即有解问题，先在整个平面内找满足条件的点的轨迹，再让此轨迹与圆相交
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直线与圆联立