导数的定义与计算

定义式

直接脱f得系数
例：${\lim\limits_{{\Delta}x{\to}0}}\frac{f(x_0+3{\Delta}x)-f(x_0-2{\Delta}x)}{2{\Delta}x}=\frac{3-(-2)}{2}f^{\prime}(x_0)$
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求导数值

参考

切线方程

求导->找切点->算切线斜率->写方程（点斜式）（有方程求参不用写）->用条件（点在直线上，点在曲线上）

切点的作用

• 切线斜率等于切点处导数值
• 切点既在曲线上，也在直线上

• 切点个数决定切线条数

  在点型切线

  切线方程五步，在点型不需要第五步。
  在点A处的切线方程意味着切点就是点A。

  过点型切线

• 过点A的切线方程切点不一定是A点。
• 写点斜式方程时选择题目中的点，因为其无参数，写出的直线好看。

• 第二步若用曲线方程来设切点坐标，相当于点在曲线上已经用了，则第五步至需要用点在直线上。

  切线问题求参

  正常走五步流程即可，若题目中已有切线方程，则跳过第四步。（至少知道斜率或者截距中的一个才算已有切线方程）

  公切线

  先用第一条曲线走一套流程，跳过第五步。
  然后用第二条曲线走一套流程，跳过第四步。（因为直线方程上面已经算了）
  特殊类型：

• 二次函数：可以用判别式

• 同种曲线用平移可得公切线的方向向量，例如：$y=lnx+1$和$y=ln(x-2)$

  与切线有关的转化问题

• 求曲线与直线的最小距离
• 求反函数的最小距离（求与直线$y=x$的距离），例：点P在曲线$y=e^x$上，点Q在曲线$y=lnx$上，求PQ最小值
• 如何求反函数
• 反函数同时进行平移

单调区间

求单调区间

定义域->求导，化简（通分，因式分解）->找恒成立（找恒正或恒负的因式）->令导数等于零求根（只需令变号的因式为0）->画图得单调区间

知函数单调性求参

函数在区间D上单调增，等价于$f^{\prime}(x){\ge}0$恒成立
函数在区间D上有增区间，等价于$f^{\prime}(x)>0$有解
不单调就是有极值（注意不能切不能是端点）

含参讨论单调区间

正常步骤走，分类标准：

1. 考虑恒成立时，是否有恒成立，包括整体恒成立、局部恒成立、两根相等恒成立、判别式小于等于0恒成立
2. 能因式分解就因式分解，不能则考虑根的个数
3. 画图时，两根的大小

构造函数

• $xf^{\prime}(x)+nf(x)$构造$x^nf(x)$
• $f^{\prime}(x)+nf(x)$构造$e^{nx}f(x)$
• 把$f^{\prime}(x)$写到前面->看加号还是减号->看$f^{\prime}(x)$前面乘了什么->看$f(x)$前面乘了什么

• 有三角函数的用乘除法的求导法则去想

  构造比较大小（真构造）

• 选项只是给出自变量，不等式自己列

• 特值法（找一个符合条件的常函数）（注意不是每个题都能用，最好验证一下每一个选项）

  解不等式（秒杀）

• 没有奇偶性，没有三角函数才能用
• 保正：条件中$f^{\prime}(x)$系数为正，要解的不等式中$f^x)$系数为正

• $f(lnx)$得到的是$lnx$范围，即括号内的范围

  与奇偶性有关

• 构造的函数起名字，所有条件转化到新函数上

• 画新函数的图像

  同构比较大小

  统一变量构造函数

  例：$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>2$

• 小题做法：拉格朗日中值定理：$k_割>2$->$k_切\ge2$->导数大于等于0恒成立
• 答题做法，不妨设$x_1>x_2$，乘开，各回各家
  例：$f(x)=$分段函数，$f(a)=f(b)$，求$b-a$范围
  统一成a或者b不好做的话，可以令$t=f(a)=f(b)$,统一成t

极值与最值

求极值

• 极值产生的原因：函数单调性发生改变
• 什么是极值点：导数等于零，要过不要切

• 求极值步骤与求单调区间步骤一致；不需要考虑恒成立，因为导数恒成立意味着函数单调，说明无极值；最后多一步求极值

  求最值

• 连续函数在闭区间上必定有最值
• 必修一最值的定义
• 求最值的方法总结：已知函数（二次函数、对勾函数、川字函数等）、基本不等式、求导（通用）
• 三角函数求单调区间不画$f^{\prime}(x)$的图像，去解不等式$f^{\prime}(x)>0$

• 比较大小需要用到近似值：ln2、ln3等

  最值的应用

  极值点求参

• 注意检验
• 只有一个答案，假检验
• 有两答案，题目是极值点，检验是否变号

• 有两答案，题目明确是极大值点（极小值点），真检验

  实际应用

• 读题写解析式，考虑定义域

• 求最值的方法不止有求导，比如二次函数、基本不等式

  恒成立问题

• 分离参数法（符号确定、会求最值）
• 口诀：大于最大，小于最小。最值取得到，有等就取等；最值取不到，恒等存不等。（建议讲原理）

• 有解、恒成立问题能分参就分参

  证明不等式

• $x>0时，sin x<x<tan x$
• 方天画戟

• 常用放缩

  双变量问题

  量词相同，最值不同；量词不同，最值相同
  开口朝大，任意取反
  min小于max，存在不变，任意相反
  例： 任意$a$,存在$b$，使$f(a)<g(b)$成立
  min小于max:$f_{min}(x)<g_{max}(x)$
  存在不变：b不变
  任意相反：a相反，即$f_{max}(x)<g_{max}(x)$

  零点个数&极值点个数

  零点个数

• 分离参数法
• 对于三次函数，能分离b，就不分离-b

• 指数好朋友，对数单身狗（化简是最好将$e^x$作为分母，将$lnx$作为单独一项）

  极值点个数

• 极值点也是零点（但是不能是端点、不能切）（变号零点）

  三切线问题

• 正常走切线流程
• 转化为零点个数问题

导数综合应用

隐零点

• 导数等于零思路：求根->猜根->设根，既不能求出根、也不能猜出根时就是隐零点问题
• 说明$f^{\prime}(x)$的单调性，以及$x_0$的左右两个近似值的导数值符号，以证明$x_0$存在

• 计算的核心：指对化幂
  例题：
  求根：求函数$f(x)=e^x-2x$的最值
  猜根：求函数$f(x)=\frac{lnx+1}{e^x}$的最大值
  设根：求证$f(x)=e^x-lnx>2$

  韦达替换

  例：$f(x)=ln\frac{1}{2x}-ax^2+x$有两个极值点$x_1$、$x_2$，求证$f(x_1)+f(x_2)>3-4ln2$

• 一定去求$a$的取值范围（利用条件有两个极值点）（二次函数根的分布或者分离参数法）

  对数清君侧，指数数好朋友

  $lnx$不能与其它式子相乘，不好求导
  $e^x$做分母容易求导

  证明不等式

  常用不等式：
  $e^x{\ge}x+1$
  $e^x{\ge}ex$
  $lnx{\le}x-1$
  $lnx{\le}\frac{x}{e}$
  $sinx<x<tanx (0<x<\frac{\pi}{2})$

  带端点

  例：证明$a{\le}1,x{\ge}0,e^x-ax^2{\ge}1$
  因为$a{\le}1$,$e^x-ax^2{\ge}e^x-x^2$
  故只需证$e^x-x^2{\ge}1$

  数列相关问题（和式的处理）

  例：证明$1+\frac{1}{2}+……+\frac{1}{n}>ln(n+1)$
  一边是和，把另一边也化成和$1+\frac{1}{2}+……+\frac{1}{n}>ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+……+ln\frac{n+1}{n}$
  方法：把右边当成一个数列的前$n$项和$S_n$，用$S_n$求$a_n$

• 连积取对数

  端点效应

  $a<x<b,f(x)>0$恒成立，且$f(a)=0$，说明$f(x)$在$a$右侧附近单调增，即$f^{\prime}(a){\ge}0$

• 端点效应得到的是必要条件（范围可能会大），需要做证明
• 分离参数不好做时考虑（最大的问题是想不起来用）
• 特殊类型:$f(x)=x-1-alnx{\ge}0$，端点自己找，本例端点为1

• 导数=0，研究导函数的端点效应，求二阶导

  恒成立中的整数问题

  例：$x>1,k(x-1)<xlnx+x$恒成立，求整数$k$的最大值

• 方法一：分离参数，用隐零点求最值范围，进而得整数最值

• 方法二：带特殊值得必要条件，再做证明

  换元法

  指对幂同时出现，令$t$为$f(x)e^x$
  例:证明$xe^x{\ge}lnx+x+a$恒成立
  令$t=xe^x$即可

  比较大小

  利用中间值比较

• 与0、11比较：指数永远大于0，对数一分为负（同正异负），$a^0=1,log_{a}a=1$
• 利用不等式进行比较：方天画戟不等式等

• 直接计算出值或者估计值

  同构比较大小

• 常用函数$f(x)=\frac{lnx}{x}$，注意$f(2)=f(4)$，不同区间比较时用此转化

• 同构常用方法：各回各家

  知解析式选图像

• 定义域
• 奇偶性
• 特殊值（函数的正负、特殊点的值、趋势等）
• 求导得单调性

极值点偏移

泰勒展开

洛必达法则

用于解决分离参数求不出最值的问题